Méthode des rectangles - Rectangles inférieurs

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ pour tout $x\in [1;4]$ .
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe  $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations  $x=1$  et  $x=4$ .
Soit $n$ un entier strictement positif. On subdivise l'intervalle $[1;4]$ en $n$ intervalles.
On considère les rectangles construits selon la méthode précédente.

On définit la suite finie des abscisses de la subdivision $(x_k{)}_{0⩽k⩽n-1}$ , par $x_k=1+k\times {\displaystyle \frac{3}{n}}$ .
1. Soit $k$ un entier tel que $0⩽k⩽n-1$ . Exprimer l'aire du rectangle ${\text{A}}_k{\text{B}}_k{\text{B}}_{k+1}{\text{C}}_k$ en fonction de $x_k$ et $n$ .
2. Exprimer, en fonction de $n$ , la somme ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k}$ . 
On admet  que  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{k}^2={\displaystyle \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}}}$ . 
3. a.  Démontrer que la somme des aires des rectangles inférieurs est donnée, pour tout entier $n$ strictement positif, par $S_n={\displaystyle \frac{3(14n^2-15n+3)}{2n^2}}$ .
    b.  Calculer la limite de $(S_n)$ .